귀납적 수열 최댓값

출제의도 : 수열의 귀납적 정의를 이해하고 조건을 만족시키는 항의 값을 구할 수 있는가? $n \leq 3$일 때 $a _{n + 1} = a _{n} - 2 k$ 이므로 $a _{n} = a _{n + 1} + 2 k$ $a _{4} = 2$이므로 $a _{3} = a _{4} + 2 k$$= 2 + 2 k$ $a _{2} = a _{3} + 2 k$$= ( 2 + 2 k ) + 2 k$$= 2 + 4 k$ $a _{1} = a _{2} + 2 k$$= ( 2 + 4 k ) + 2 k$$= 2 + 6 k$ ---㉠ 또, $n \geq 4$일 때 $a _{n + 1} = k a _{n} + 2$ 이므로 $a _{5} = k a _{4} + 2$$= 2 k + 2$ $a _{6} = k a _{5} + 2$$= k ( 2 k + 2 ) + 2$$= 2 k ^{2} + 2 k + 2$ $a _{7} = k a _{6} + 2$$= k \left( 2 k ^{2} + 2 k + 2 \right) + 2$$= 2 k ^{3} + 2 k ^{2} + 2 k + 2$ ---㉡ $a _{1} = a _{7}$이므로 ㉠, ㉡에서 $2 + 6 k = 2 k ^{3} + 2 k ^{2} + 2 k + 2$ $2 k ( k + 2 ) ( k - 1 ) = 0$ $k = 0$또는 $k = - 2$또는 $k = 1$ (i) $k = 0$일 때 $a _{1} = 2 + 6 \times 0 = 2$, $a _{2} = 2 + 4 \times 0 = 2$ 이므로 $\left| a _{1} \right| + \left| a _{2} \right| = 2 + 2 = 4$ (ii) $k = - 2$일 때 $a _{1} = 2 + 6 \times ( - 2 ) = - 10$, $a _{2} = 2 + 4 \times ( - 2 ) = - 6$ 이므로 $\left| a _{1} \right| + \left| a _{2} \right| = 10 + 6 = 16$ (iii) $k = 1$일 때 $a _{1} = 2 + 6 \times 1 = 8$, $a _{2} = 2 + 4 \times 1 = 6$ 이므로 $\left| a _{1} \right| + \left| a _{2} \right| = 8 + 6 = 14$ (i) ~ (iii)에서 $\left| a _{1} \right| + \left| a _{2} \right|$의 최댓값은 $16$이다.