귀납적 수열 첫째항

$a _{1} \geq 2$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$ $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{2} a _{1} \geq 1$이므로 $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{4} a _{1}$ $a _{5} < 1$이라 하면 $\displaystyle a _{6} = \frac{1}{2} \left( a _{5} + a _{1} \right)$에서 $a _{5} + 2 a _{6} = 2 a _{5} + a _{1} > 2$이므로 $a _{5} \geq 1$ 그러므로 $\displaystyle a _{6} = \frac{1}{2} a _{5}$이고 $a _{5} + 2 a _{6} = 2 a _{5} = 2$에서 $a _{5} = 1$ $a _{4} < 1$이라 하면 $\displaystyle a _{5} = \frac{1}{2} \left( a _{4} + a _{1} \right) = 1$에서 $a _{4} = 2 - a _{1} \leq 0$이므로 $a _{4} \geq 1$ 그러므로 $\displaystyle a _{5} = \frac{1}{2} a _{4} = 1$에서 $a _{4} = 2$ (ⅰ) $a _{1} \geq 4$일 때 $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{4} a _{1} \geq 1$이므로 $\displaystyle a _{4} = \frac{1}{8} a _{1} = 2$에서 $a _{1} = 16$ (ⅱ) $a _{1} < 4$일 때 $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{4} a _{1} < 1$이므로 $\displaystyle a _{4} = \frac{1}{2} \left( a _{3} + a _{1} \right) = \frac{5}{8} a _{1} = 2$에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{16}{5}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\displaystyle 16 + \frac{16}{5} = \frac{96}{5}$