귀납적 정의 수열

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기 $a _{n + 1} a _{n + 2} - 2 = a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{n + 1} ^{2}$$\cdots \cdots$㉠ $a _{n} a _{n + 1} - 2 = a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{n} ^{2}$$\cdots \cdots$㉡ ㉠ $-$ ㉡ 을 하면 $a _{n + 1} a _{n + 2} - a _{n} a _{n + 1} = a _{n + 1} ^{2}$ $a _{n + 1} \left( a _{n + 2} - a _{n} \right) = a _{n + 1} ^{2}$ $a _{n + 2} - a _{n} = a _{n + 1}$ $a _{n + 2} = a _{n} + a _{n + 1}$ $a _{8} = a _{6} + a _{7} = a _{6} + a _{5} + a _{6}$$= 2 a _{6} + a _{5} = 3 a _{5} + 2 a _{4}$ 이므로 $p = 3 ,$ $q = 2$이다. $\therefore p ^{2} + q ^{2} = 13$