대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

귀납적 정의 수열

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $a _{1} = 1$ 이고, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{2n} = 2 a _{n} , a _{2n+1} = 3 a _{n}$ 을 만족시킨다. $a _{7} + a _{k} = 73$ 인 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$a _{7} = 3 a _{3} = 3 \times 3 a _{1} = 9$ 이므로 $a _{k} = 64$ $a _{2n} = 2 a _{n}$ 에서 $a _{2} = 2 a _{1} = 2$ $a _{4} = 2 a _{2} = 2 ^{2}$ $a _{8} = 2 a _{4} = 2 ^{3}$ $\vdots$ 따라서 $a _{2 ^{n}} = 2 ^{n}$ 이므로 $a _{k} = 64 = 2 ^{6}$ 에서 $k = 2 ^{6} = 64$

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