귀납적 정의 수열

조건 (가)에서 $a _{1} \times a _{2} > 0$이므로 $a _{1} > 0$, $a _{2} > 0$ 또는 $a _{1} < 0$, $a _{2} < 0$ $a _{1} < 0$이면 $a _{2} = a _{1} ^{2} > 0$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. $a _{1} > 0$이므로 $a _{2} = - 2 a _{1} + 3$ $a _{2} > 0$이므로 $a _{3} = - 2 a _{2} + 3 = 4 a _{1} - 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅰ) $a _{3} < 0$일 때 $a _{4} = a _{3} ^{2} > 0$이므로 $a _{5} = - 2 a _{3} ^{2} + 3 = a _{3}$에서 $\left( 2 a _{3} + 3 \right) \left( a _{3} - 1 \right) = 0$ $a _{3} < 0$이므로 $\displaystyle a _{3} = - \frac{3}{2}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle a _{1} = \frac{3}{8}$ (ⅱ) $a _{3} = 0$일 때 $a _{4} = a _{3} ^{2} = 0$, $a _{5} = a _{4} ^{2} = 0$이므로 $a _{3} = a _{5} = 0$ ㉠에 의하여 $\displaystyle a _{1} = \frac{3}{4}$ (ⅲ) $a _{3} > 0$일 때 (a) $\displaystyle 0 < a _{3} < \frac{3}{2}$일 때 $a _{4} = - 2 a _{3} + 3 > 0$이므로 $a _{5} = - 2 a _{4} + 3 = 4 a _{3} - 3 = a _{3}$에서 $a _{3} = 1$ ㉠에 의하여 $a _{1} = 1$ (b) $\displaystyle a _{3} \geq \frac{3}{2}$일 때 $a _{4} = - 2 a _{3} + 3 \leq 0$이므로 $a _{5} = a _{4} ^{2} = \left( - 2 a _{3} + 3 \right) ^{2} = a _{3}$에서 $\left( 4 a _{3} - 9 \right) \left( a _{3} - 1 \right) = 0$ $\displaystyle a _{3} \geq \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle a _{3} = \frac{9}{4}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle a _{1} = \frac{21}{16}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{3}{8} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{21}{16} = \frac{55}{16}$이므로 $p = 16$, $q = 55$ 따라서 $p + q = 71$