대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

귀납적 정의 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=4a _{1} = 4이고, 모든 자연수 nn에 대하여 an+1={an−3(an≥6)(an−1)2(an<6)\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} a _{n} - 3 _{{} _{{} _{}}} & ( a _{n} {\geq} 6 ) _{{} _{{} _{}}} \\ ( a _{n} - 1 ) ^{2} {}^{{} ^{{} ^{}}} & ( a _{n} < 6 ) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}} 을 만족시킨다. a10a _{10}의 값은? [3점] ①11②33③55④77⑤99

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해설

a1=4a _{1} = 4 a1<6a _{1} < 6이므로 a2=(a1−1)2=9a _{2} = ( a _{1} - 1 ) ^{2} = 9 a2≥6a _{2} {\geq} 6이므로 a3=a2−3=6a _{3} = a _{2} - 3 = 6 a3≥6a _{3} {\geq} 6이므로 a4=a3−3=3a _{4} = a _{3} - 3 = 3 a4<6a _{4} < 6이므로 a5=(a4−1)2=4=a1a _{5} = ( a _{4} - 1 ) ^{2} = 4 = a _{1} a5<6a _{5} < 6이므로 a6=(a5−1)2=9=a2a _{6} = ( a _{5} - 1 ) ^{2} = 9 = a _{2} ⋮ 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 an+4=ana _{n + 4} = a _{n}을 만족시키므로 a10=a6=a2=9a _{10} = a _{6} = a _{2} = 9

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