귀납법과 수렴

다음은 무한수열 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{2}{2 ^{2}}$, $\displaystyle \frac{3}{2 ^{3}}$, $\cdots$, $\displaystyle \frac{n}{2 ^{n}}$,$\cdots$이 수렴함을 증명하는 과정이다. <증명> 먼저 $n \geq 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여, $2 ^{n} > n ^{2}$$\cdots \cdots$㉠ 이 성립함을 증명하자. (ⅰ) $n = 5$일 때, (좌변)$=$$2 ^{5} = 32$, (우변)=$5 ^{2} = 25$이므로 ㉠이 성립한다. (ⅱ) $n = k$($k \geq 5$)일 때, $2 ^{k} > k ^{2}$이 성립한다고 가정하면 $2 ^{k+1} - ( k + 1 ) ^{2} = 2 \cdot 2 ^{k} - ( k + 1 ) ^{2}$ $> 2 \cdot \square {( \text{가} )}$ $- ( k ^{2} + 2 k + 1 )$ $= k ^{2} - 2 k - 1$$> 0$ $\therefore$ $2 ^{k+1} > ( k + 1 ) ^{2}$ 그러므로 ㉠은 $n = k + 1$일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n \geq 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $2 ^{n} > n ^{2}$이 성립한다.

위에서 $2 ^{n} > n ^{2}$이므로 $\displaystyle 0 < \frac{n}{2 ^{n}} < \square {( \text{나} )}$ 이다. $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n}{2 ^{n}} = \square {( \text{다} )}$ 이다. 따라서 무한수열 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{2}{2 ^{2}}$, $\displaystyle \frac{3}{2 ^{3}}$, $\cdots$, $\displaystyle \frac{n}{2 ^{n}}$,$\cdots$은 수렴한다.

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 들어가기에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$k$ $\displaystyle \frac{1}{n}$ $0$②$k$ $\displaystyle \frac{1}{n ^{2}}$ $1$③$k ^{2}$ $\displaystyle \frac{1}{n}$ $0$④$k ^{2}$ $\displaystyle \frac{1}{n}$ $1$⑤$k ^{2}$ $\displaystyle \frac{1}{n ^{2}}$ $0$