귀납법 증명 빈칸

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에서 일반항 $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k ^{2}}$일 때, $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n - 1} + \sum\limits _{i = 1} ^{n} \frac{1}{i} = na _{n}$ $\cdots \cdots$(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) $n = 2$일 때, (*)에서 (좌변)$\displaystyle = a _{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = {\square {( \text{가} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}$ (우변)$= 2 a _{2} = {\square {( \text{가} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}$ (좌변)$=$(우변)이므로 (*)이 성립한다. (2) $n = m$ ($m \geq 2$)일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{m - 1} + \sum\limits _{i = 1} ^{m} \frac{1}{i} = ma _{m}$ 이다. $n = m + 1$일 때, (*)이 성립함을 보이자. $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{m} + \sum\limits _{i = 1} ^{m + 1} \frac{1}{i}$ $\displaystyle = {\square {( \text{나} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \times a _{m} + \frac{1}{m + 1}$ $\displaystyle = \left( m + 1 \right) \left\{ a _{m + 1} - \frac{1}{\left( m + 1 \right) ^{2}} \right\} + \frac{1}{m + 1}$ $= \left( m + 1 \right) a _{m + 1}$ 따라서 $n = m + 1$일 때도 (*)이 성립한다. (1), (2)에 의하여 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)에 알맞은 식을 $f \left( m \right)$이라 할 때, $p \times f \left( 3 \right)$의 값은? [4점] ①$4$②$6$③$8$④$10$⑤$12$