귀납법 증명 빈칸

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 $\displaystyle T _{n} = 2 a _{1} + 3 a _{2} + \cdots + ( n + 1 ) a _{n} = \frac{n}{2 n + 4}$ (단, $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$) 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{n}$ $\cdots$$\cdots$ (★) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(우변)$=$$\displaystyle \frac{1}{( 1 + 1 ) ^{2}} - T _{1} =$ (가)

이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{m}$ 이다. $n = m + 1$일 때, (★)이 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{m} + a _{m+1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{m} +$(나) $( T _{m + 1} - T _{m} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{m+1} +$$\displaystyle \frac{m + 3}{m + 2}$$( T _{m + 1} - T _{m} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{m+1} +$$\displaystyle \frac{1}{( m + 2 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} - T _{m + 1}$ 그러므로 $n = m + 1$일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 (★)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $\alpha$, (나)에 알맞은 식을 $f \left( m \right)$이라 할 때, $\displaystyle \frac{\alpha}{f \left( 2 \right)}$의 값은? [3점] ①$\displaystyle \frac{1}{12}$②$\displaystyle \frac{1}{6}$③$\displaystyle \frac{1}{4}$④$\displaystyle \frac{1}{3}$⑤$\displaystyle \frac{1}{2}$