귀납법 증명 빈칸

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 $a _{1} = \alpha$($\alpha \ne 0$)이고, 모든 $n$($n \geq 2$)에 대하여 $\displaystyle \left( n - 1 \right) a _{n} + \sum\limits _{m = 1} ^{n - 1} ma _{m} = 0$을 만족시킨다. 다음은 $\displaystyle a _{n} = \frac{\left( - 1 \right) ^{n - 1}}{\left( n - 1 \right) !} \alpha$ ($n \geq 1$) 임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다. [증명]

⑴ $n = 1$일 때, $\displaystyle a _{1} = \alpha = \frac{\left( - 1 \right) ^{1 - 1}}{\left( 1 - 1 \right) !} \alpha$이다. ⑵ ⅰ) $n = 2$일 때, $a _{2} + a _{1} = 0$이므로 $\displaystyle a _{2} = - a _{1} = \frac{\left( - 1 \right) ^{2 - 1}}{\left( 2 - 1 \right) !} \alpha$이다. 따라서 주어진 식이 성립한다. ⅱ) $n = k$ ($k \geq 2$)일 때 성립한다고 가정하고, $n = k + 1$일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle 0 = ka _{k + 1} + \sum\limits _{m = 1} ^{k} ma _{m}$ $\displaystyle = ka _{k + 1} + \sum\limits _{m = 1} ^{k - 1} ma _{m} + ka _{k}$ $= ka _{k + 1} + \left( \square {\text{(가)}} \right) \times a _{k} + ka _{k}$ 이므로 $\displaystyle a _{k + 1} = \square {\text{(나)}} \times a _{k} = \frac{\left( - 1 \right) ^{k}}{k !} \alpha$ 이다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{\left( - 1 \right) ^{n - 1}}{\left( n - 1 \right) !} \alpha$이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식의 곱을 $f \left( k \right)$라 할 때, $f \left( 10 \right)$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{1}{10}$②$\displaystyle \frac{3}{10}$③$\displaystyle \frac{1}{2}$④$\displaystyle \frac{7}{10}$⑤$\displaystyle \frac{9}{10}$