귀납법 부등식 증명

다음은 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \right) > n ^{2} \cdots \cdots \left( * \right)$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하는 과정이다.

주어진 식 $\left( * \right)$의 양변을 $\displaystyle \frac{n \left( n + 1 \right)}{2}$로 나누면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \frac{2 n}{n + 1}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이다. $n \geq 2$인 자연수 $n$에 대하여 (i) $n = 2$일 때, (좌변)$= {\square {\left( \text{가} \right) ^{}}}$ , (우변)$\displaystyle = \frac{4}{3}$이므로 ㉠이 성립한다. (ii) $n = k$ $( k \geq 2 )$일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} > \frac{2 k}{k + 1}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이다. ㉡의 양변에 $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$을 더하면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} > \frac{2 k + 1}{k + 1}$ 이 성립한다. 한편, $\displaystyle \frac{2 k + 1}{k + 1} -$${\square {\left( \text{나} \right) ^{}}}$$\displaystyle = \frac{k}{( k + 1 ) ( k + 2 )} > 0$ 이므로 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} >$${\square {\left( \text{나} \right) ^{}}}$ 이다. 따라서 $n = k + 1$일 때도 ㉠이 성립한다. (i), (ii)에 의하여 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉠이 성립하므로 $\left( * \right)$도 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)에 알맞은 식을 $f \left( k \right)$라 할 때, $8 p \times f \left( 10 \right)$의 값은? [4점] ①$14$②$16$③$18$④$20$⑤$22$