귀납법 부등식 증명

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \sqrt{1 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3} + \cdots + \sqrt{n ( n + 1 )}$ 일 때, 부등식 $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2} < a _{n} < \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2}$이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명] (ⅰ) $n = 1$일 때, $\displaystyle 1 < a _{1} = \sqrt{2} < 2$이므로 성립한다. (ⅱ) $n = k$일 때, $\displaystyle \frac{k ( k + 1 )}{2} < a _{k} < \frac{( k + 1 ) ^{2}}{2}$이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \frac{k ( k + 1 )}{2} + \sqrt{( k + 1 ) ( k + 2 )} < a _{k + 1} < \frac{( k + 1 ) ^{2}}{2} + \sqrt{( k + 1 ) ( k + 2 )}$ 이다. 한편, $\displaystyle \sqrt{( k + 1 ) ( k + 2 )} >$ (가) 이므로 $\displaystyle \frac{k ( k + 1 )}{2} + \sqrt{( k + 1 ) ( k + 2 )} >$ (나) 이다. $k + 1 > 0$, $k + 2 > 0$이므로 $\displaystyle \sqrt{( k + 1 ) ( k + 2 )} <$ (다) 이고, $\displaystyle \frac{( k + 1 ) ^{2}}{2} + \sqrt{( k + 1 ) ( k + 2 )}$$<$ $\displaystyle \frac{( k + 2 ) ^{2}}{2}$이다. 그러므로 $n = k + 1$일 때에도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

(가) ~ (다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]