귀납법 부등식 증명

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{n} \leq \frac{a ^{n} + b ^{n}}{2}$이 성립함을 증명한 것이다. (단, $a , b$는 양수이다.) [증명] (i) $n = 1$일 때, $\displaystyle \frac{a + b}{2} - \frac{a + b}{2} = 0$이므로 주어진 식은 성립한다. (ii) $n = k$일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{k} \leq \frac{a ^{k} + b ^{k}}{2} \cdots \cdots \text{㉠}$ 이 성립한다. ㉠의 양변에 ${\square {( \text{가} )}}$ 를 곱하면 $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{k+1} \leq \left( \frac{a ^{k} + b ^{k}}{2} \right) \times$ ${\square {( \text{가} )}}$ $\displaystyle = \frac{a ^{k+1} + b ^{k+1} + ab ^{k} + a ^{k} b}{4}$ 이 때, $\begin{aligned} a ^{k + 1} + b ^{k + 1} - ab ^{k} - a ^{k} b & = a ^{k} ( a - b ) - b ^{k} ( a - b ) \end{aligned}$ $= ( a - b ) ( a ^{k} - b ^{k} ) {\square {( \text{나} )}} 0$ 이므로, $\displaystyle \begin{aligned} \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{k+1} & \leq \frac{a ^{k+1} + b ^{k+1} + ab ^{k} + a ^{k} b}{4} \\ \\ & \leq \frac{a ^{k+1} + b ^{k+1}}{2} \end{aligned}$ 즉, $n = k + 1$일 때, 주어진 식이 성립한다. 따라서, (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①$\displaystyle \frac{a + b}{2}$ $<$②$\displaystyle \frac{a - b}{2}$ $\leq$③$\displaystyle \frac{a + b}{2}$ $\leq$④$\displaystyle \frac{a - b}{2}$ $\geq$⑤$\displaystyle \frac{a + b}{2}$ $\geq$