귀납법 빈칸

[출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기 (ⅰ) $n = 1$일 때, (좌변)$= 1$, (우변)$= 1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때, 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) \left( 2 m + 1 - 2 k \right) ^{2} = \frac{m ^{2} ( 2 m ^{2} + 1 )}{3}$ 이 성립한다고 가정하자. $n = m + 1$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} ( 2 k - 1 ) \left( 2 m + 3 - 2 k \right) ^{2}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) \left( 2 m + 3 - 2 k \right) ^{2} + {\square {{}_{} 2 m + 1 ^{}}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) \left( 2 m + 1 - 2 k \right) ^{2}$ $\displaystyle + {\square {8}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) ( m + 1 - k ) + {\square {{} _{} 2 m + 1 ^{}}}$ $\displaystyle = \frac{( m + 1 ) ^{2} \times {\left\{ 2 ( m + 1 ) ^{2} + 1 \right\}}}{3}$ 이다. 따라서 $n = m + 1$일 때도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

$f ( m ) = 2 m + 1$이고 $\left( 2 m + 3 - 2 k \right) ^{2}$ $= \left( 2 m + 1 - 2 k + 2 \right) ^{2}$ $= \left( 2 m + 1 - 2 k \right) ^{2} + 4 \left( 2 m + 1 - 2 k \right) + 4$ $= \left( 2 m + 1 - 2 k \right) ^{2} + 8 \left( m + 1 - k \right)$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) \left( 2 m + 3 - 2 k \right) ^{2}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) \left( 2 m + 1 - 2 k \right) ^{2}$$\displaystyle + 8 \times \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) ( m + 1 - k )$ 에서 $p = 8$ 따라서 $f ( 3 ) + p = 7 + 8 = 15$