대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납법 빈칸

문제

다음은 모든 자연수 nn에 대하여 등식 ∑k=1n(−1)k−1(n+1−k)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( - 1 ) ^{k - 1} ( n + 1 - k ) ^{2}=∑k=1nk\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) n=1n = 1일 때, (좌변)=1= 1, (우변)=1= 1이므로 ㉠이 성립한다. (2) n=mn = m일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 ∑k=1m(−1)k−1(m+1−k)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( - 1 ) ^{k - 1} ( m + 1 - k ) ^{2}=∑k=1mk\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k 이다. n=m+1n = m + 1일 때 ㉠이 성립함을 보이자. ∑k=1m+1(−1)k−1(m+2−k)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} ( - 1 ) ^{k - 1} ( m + 2 - k ) ^{2} ==(−1)0(m+1)2( - 1 ) ^{0} ( m + 1 ) ^{2}+(−1)1m2+ \left( - 1 \right) ^{1} m ^{2}++⋯\cdots ++(−1)m⋅12( - 1 ) ^{m} \cdot 1 ^{2} ==(m+1)2( m + 1 ) ^{2}++□(가)\square {{}^{} ( \text{가} ) _{}}⋅∑k=1m(−1)k−1(m+1−k)2\displaystyle \cdot \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( - 1 ) ^{k - 1} ( m + 1 - k ) ^{2} ==(m+1)2( m + 1 ) ^{2}++□(나)\square {{}^{(\text{나})}} =∑k=1m+1k\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k 그러므로 n=m+1n = m + 1일 때도 ㉠이 성립한다. 따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 nn에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 aa라 하고, (나)에 알맞은 식을 f(m)f ( m )이라 할 때, a+f(9)a + f ( 9 )의 값은? [4점] ①−46- 46②−44- 44③−42- 42④−40- 40⑤−38- 38

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 등식을 증명할 수 있는지 묻는 문제이다. a=−1a = - 1, f(m)=−m(m+1)2\displaystyle f ( m ) = - \frac{m ( m + 1 )}{2}이므로 a+f(9)=(−1)+(−45)=−46a + f ( 9 ) = ( - 1 ) + \left( - 45 \right) = - 46

태그

#수학적 귀납법#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로