대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납법 12의 배수 빈칸

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{1} = 1 , a _{2} = 2 , a _{n + 2} = 2 a _{n + 1} + a _{n}$ ( $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ ) 으로 정의될 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{4 n}$ 은 $12$ 의 배수임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (i) $n = 1$ 일 때, $a _{4} =$ (가) 이므로 성립한다. (ii) $n = k$ 일 때, $a _{4 k}$ 가 $12$ 의 배수라고 가정하면 $a _{4 ( k + 1 )} = 2 a _{4 k + 3} + a _{4 k + 2}$ = (나) $a _{4 k + 2} + 2 a _{4 k + 1}$ = (다) $a _{4 k + 1} +$ (라) $a _{4 k}$

따라서 $a _{4 ( k + 1 )}$ 은 $12$ 의 배수이다. 그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{4 n}$ 은 $12$ 의 배수이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수를 각각 $a , b , c , d$ 라 할 때, $a + b + c + d$ 의 값은? [3점] ① $31$ ② $32$ ③ $33$ ④ $34$ ⑤ $35$

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④

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해설

[출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. (i) $n = 1$ 일 때, $a _{4} = 2 a _{3} + a _{2} = 2 ( 2 a _{2} + a _{1} ) + a _{2} = 5 a _{2} + 2 a _{1} = 12$ 이므로 성립한다. (ii) $n = k$ 일 때, $a _{4 k}$ 가 $12$ 의 배수라고 가정하면 $a _{4 ( k + 1 )} = 2 a _{4 k + 3} + a _{4 k + 2}$ $= 2 ( 2 a _{4 k + 2} + a _{4 k + 1} ) + a _{4 k + 2}$ $= 5 a _{4 k + 2} + 2 a _{4 k + 1}$ $= 5 ( 2 a _{4 k + 1} + a _{4 k} ) + 2 a _{4 k + 1}$ $= 12 a _{4 k + 1} + 5 a _{4 k}$ 따라서 $n = k + 1$ 일 때, $a _{4 ( k + 1 )}$ 은 $12$ 의 배수이다. 그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{4 n}$ 은 $12$ 의 배수이다. 따라서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수는 차례로 $12 , 5 , 12 , 5$ 이다. ∴ $a + b + c + d = 34$

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