기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구와 원의 정사영 넓이 최댓값

문제

좌표공간에 구 S:x2+y2+z2=50S : x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 50과 점 P(0,5,5)\mathrm{P} ( 0 , 5 , 5 )가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원 CC에 대하여 CC의 xyxy평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 qpπ\displaystyle \frac{q}{p} \pi라 하자. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

(가) 원 CC는 점 P\mathrm{P}를 지나는 평면과 구 SS가 만나서 생긴다. (나) 원 CC의 반지름의 길이는 11이다.

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해설

그림과 같이 원점을 O,O , 원 CC가 yzyz평면과 만나는 다른 한 점을 P′P'이라 하자. 또, 원점 OO에서 선분 PP′PP'에 내린 수선의 발을 HH라 하고, ∠POH=θ\angle POH = \theta라 하자.

PH‾=1,OP‾=50\displaystyle \overline{PH} = 1 , \overline{OP} = \sqrt{50} 이므로 sin⁡θ=150,cos⁡θ=750\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{50}} , \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{50}} 선분 PP′PP'의 연장선과 yy축이 만나는 점을 QQ라 하고, ∠OQP=α\angle OQP = \alpha라 하자, 이때, 정사영의 넓이는 πcos⁡α=πcos⁡{π2−(π4+θ)}\displaystyle \pi \cos \alpha = \pi \cos \left\{ \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right\} =πsin⁡(π4+θ)\displaystyle = \pi \sin \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) =π(sin⁡π4cos⁡θ+cos⁡π4sin⁡θ)\displaystyle = \pi \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{4} \sin \theta \right) =π(12×750+12×150)\displaystyle = \pi \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{7}{\sqrt{50}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{50}} \right) =π(710+110)=45π\displaystyle = \pi \left( \frac{7}{10} + \frac{1}{10} \right) = \frac{4}{5} \pi ∴p+q=9\therefore p + q = 9

태그

#정사영#구

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