기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구와 삼수선

문제

길이가 55인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 구 위에 점 C\mathrm{C}가 있다. 점 A\mathrm{A}를 지나고 직선 AB\mathrm{AB}에 수직인 직선 ll이 직선 BC\mathrm{BC}에 수직이다. 직선 ll 위의 점 D\mathrm{D}에 대하여 BD‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 6, CD‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 4일 때, 선분 AC\mathrm{AC}의 길이는? (단, 점 C\mathrm{C}는 선분 AB\mathrm{AB} 위에 있지 않다.) [4점] ①3\displaystyle \sqrt{3}②22③5\displaystyle \sqrt{5}④6\displaystyle \sqrt{6}⑤7\displaystyle \sqrt{7}

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③

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해설

[출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 공간도형의 문제를 해결한다.

점 A\mathrm{A}를 지나고 두 직선 AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC}에 수직인 직선 ll은 평면 ABC\mathrm{ABC}에 수직이고, C\mathrm{C}가 구 위의 점이므로 ∠BCA=π2\displaystyle \angle \mathrm{BCA} = \frac{\pi}{2} 즉, AC‾⊥BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp {\overline{BC}} 삼수선의 정리에 의하여 DC‾⊥BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} \perp {\overline{BC}}이므로 BC‾=BD‾2−CD‾2\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \mathit{=} \sqrt{{\overline{\mathrm{BD}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2}}=62−42=25\displaystyle = \sqrt{6 ^{2} - 4 ^{2}} = 2 \sqrt{5} 따라서 구하는 선분 AC\mathrm{AC}의 길이는 AC‾=AB‾2−BC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}}=52−(25)2=5\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{5 ^{2} - \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}} = \sqrt{5}

태그

#삼수선의 정리#구

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