구와 평면의 정사영

점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b , 7 \right)$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}'$이라 하면 $\mathrm{P}' \left( \mathit{a} , b , 0 \right)$ 구의 중심 $\left( 4 , 3 , 2 \right)$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{C}'$이라 하면 $\mathrm{C}' \left( 4 , 3 , 0 \right)$ $a ^{2} + b ^{2} < 25$이므로 $\mathrm{P}'$인 $\mathrm{C}'$보다 원점에서 더 가깝다. 원점과 두 점 $\mathrm{P}'$, $\mathrm{C}'$을 지나는 직선을 가로축으로 하고, $z$축을 세로축으로 하여 그림을 그리면 다음과 같다.

점 $\mathrm{P}$는 구 위의 점이므로 $\left( a - 4 \right) ^{2} + \left( b - 3 \right) ^{2} + 25 = 29$, $\left( a - 4 \right) ^{2} + \left( b - 3 \right) ^{2} = 4$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{\overline{P' C'}} = \mathit{\sqrt{\left( a - 3 \right) ^{2} + \left( b - 4 \right) ^{2}}} = 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PP'}} = 7$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{OC'}} = 5$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP'}} = 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \sqrt{7 ^{2} + 3 ^{2}} = \sqrt{58}$ 선분 $\mathrm{OP}$는 원 $C$의 지름이므로 원 $C$의 반지름은 $\displaystyle \frac{\sqrt{58}}{2}$이고, 원 $C$와 $xy$평면이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{58}}$이다. 따라서 원 $C$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \pi \left( \frac{\sqrt{58}}{2} \right) ^{2} \times \frac{3}{\sqrt{58}} = \frac{3}{4} \sqrt{58} \pi$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{3}{4} \sqrt{58}$이므로 $8 k ^{2} = 261$이다.