구와 평면이 만나는 원

[출제의도] 벡터의 합의 크기의 최댓값을 구할 수 있는가? 구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 6$의 중심을 $\mathrm{O} \left( 0 , 0 , 0 \right)$이라 하고, 원 $C$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 원점 $\mathrm{O}$에서 평면 $x + 2 z - 5 = 0$에 내린 수선의 발이 점 $\mathrm{C}$이다 . 평면 $x + 2 z - 5 = 0$ 의 법선벡터를 ${\vec{n}}$이라 하면 ${\vec{n}} = \left( 1 , 0 , 2 \right)$ 이므로 원점 $\mathrm{O}$를 지나고 평면 $x + 2 z - 5 = 0$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{z}{2}$, $y = 0$ $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{z}{2} = t$ ($t$는 실수)라 하면 $x = t$, $z = 2 t$ 이므로 이를 $x + 2 z - 5 = 0$에 대입하면 $t + 4 t - 5 = 0$ 에서 $t = 1$이다. 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( 1 , 0 , 2 \right)$이다. 한편, 원점 $\mathrm{O}$와 평면 $x + 2 z - 5 = 0$ 사이의 거리를 $d _{1}$이라 하면 $\displaystyle d _{1} = \frac{\left| - 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 0 ^{2} + 2 ^{2}}} = \sqrt{5}$ 이므로 원 $C$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left( \sqrt{6} \right) ^{2} - \left( \sqrt{5} \right) ^{2}} = 1$ 이므로 평면 $x + 2 z - 5 = 0$은 $y$축과 평행하므로 원 $C$도 $y$축과 평행하다. 따라서 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선과 원 $C$가 만나는 두 점 정 $y$좌표가 작은 점이 점 $\mathrm{P}$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 1 , - 1 , 2 \right)$이고, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( 1 , - 1 , 0 \right)$ 이다. 한편, $\mathrm{\left| {\vec{PX}} + {\vec{QX}} \right|} = \left| {\vec{XP}} + {\vec{XQ}} \right|$이므로 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\mathrm{\left| {\vec{XP}} + {\vec{XQ}} \right|} = 2 \left| {\vec{XM}} \right|$ 이다.

점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\left( 1 , - 1 , 1 \right)$이다. 점 $\mathrm{M}$과 평면 $x + 2 z - 5 = 0$ 사이의 거리를 $d _{2}$라 하면 $\displaystyle d _{2} = \frac{\left| 1 + 2 - 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 0 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 이다. 따라서 점 $\mathrm{M}$에서 평면 $x + 2 z - 5 = 0$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{MH}} = \mathit{d} _{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{MC}} ^{2} - \overline{MH} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{2} \right) ^{2} - \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ 이때 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{HX}}$의 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} + 1 = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} + 1$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{MX}} ^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{MH}} ^{2} + \left( \overline{HC} + 1 \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{4}{5} + \frac{6}{5} + \frac{2 \sqrt{30}}{5} + 1$$\displaystyle = 3 + \frac{2 \sqrt{30}}{5}$ 이다. 따라서 $\mathrm{\left| {\vec{XP}} + {\vec{XQ}} \right|} ^{2} = 4 \left| {\vec{XM}} \right| ^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle 4 \left( 3 + \frac{2 \sqrt{30}}{5} \right) = 12 + \frac{8 \sqrt{30}}{5}$ 이므로 $a = 12$, $\displaystyle b = \frac{8}{5}$, 따라서 $10 \left( a + b \right) = 120 + 16 = 136$