구와 평면 교선 내적

구$( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 9$의 반지름의 길이가 $3$이므로 $| \vec{CP} | = | \vec{CQ} | = 3$ 두 벡터 $\vec{CP} , \vec{CQ}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\vec{CP} \bullet \vec{CQ} = | \vec{CP} | | \vec{CQ} | \cos \theta$$= 9 \cos \theta$이므로 $\cos \theta$의 값이 최소일 때, $\vec{CP} \bullet \vec{CQ}$의 값도 최솟값을 갖는다. 또한, $0 \leq \theta < \pi$일 때 $\theta$의 값이 클수록 $\cos \theta$의 값이 작아지므로 구와 평면의 교선인 원 $S$ 위의 점 $P , Q$가 지름의 양 끝점일 때 $\cos \theta$는 최솟값을 갖는다. 구의 중심 $C ( 1 , 1 , 1 )$에서 평면$x + y + z = 6$에 이르는 거리는 $\displaystyle \frac{| 1 + 1 + 1 - 6 |}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \sqrt{3}$ 이고, 구의 반지름의 길이가 $3$이므로 원 $S$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle r = \sqrt{3 ^{2} - ( \sqrt{3} ) ^{2}} = \sqrt{6}$ 삼각형 $CPQ$에서 제이코사인법칙에 의하여 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{3 ^{2} + 3 ^{2} + ( 2 \sqrt{6} ) ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 3}$$\displaystyle = - \frac{1}{3}$이므로 구하는 $\vec{CP} \bullet \vec{CQ}$의 최솟값은 $\displaystyle 9 \cos \theta = 9 \cdot \left( - \frac{1}{3} \right)$$= - 3$ $\theta$ $\displaystyle 2 \sqrt{6}$