구와 평면 거리

[출제의도] 구의 성질을 이용하여 평면과 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다. 점 $\mathrm{P}$와 평면 사이의 거리가 최대일 때는 구의 중심 ${\mathrm{C}} ( 0 , 0 , 1 )$을 지나고 평면에 수직인 직선이 구와 만나는 두 점 중 평면과의 거리가 더 먼 점이 $\mathrm{P}$일 때이다. 점 $\mathrm{C}$$( 0 , 0 , 1 )$과 평면 $2 x - y + 2 z - 7 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| 2 \times 0 - 1 \times 0 + 2 \times 1 - 7 |}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{5}{3}$ 이므로 거리의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle 60 d = 60 \times \frac{8}{3} = 160$