구와 정사영 넓이

[출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 정사영의 넓이를 구하는 문제를 해결한다. 구 $S$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{E} \left( 0 , 0 , \sqrt{5} \right)$라 하면 점 $\mathrm{E}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발은 원점 $\mathrm{O}$이다. 점 $\mathrm{O}$는 원 $C$의 중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{EB}} ^{2} - {\overline{OE}} ^{2}} = \sqrt{3 ^{2} - ( \sqrt{5} ) ^{2}}$$= 2$ 따라서 원 $C$의 반지름의 길이는 $2$이다. 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외접원을 $C'$이라 하고, 구의 중심 $\mathrm{E}$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H}$는 원 $C'$의 중심이다. 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} = {\overline{OB}} = 2$ 직각삼각형 $\mathrm{EBH}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{H B}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{EB}} ^{2} - {\overline{EH}} ^{2}} = \sqrt{3 ^{2} - 2 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ 이므로 원 $C'$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{5}$이다. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{HM}} \perp \overline{\mathrm{BC}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{H B}} = \sqrt{5}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ $\displaystyle \cos ( \mathrm{\angle} HBM ) = \frac{{\overline{\mathrm{BM}}}}{{\overline{\mathrm{HB}}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\mathrm{\angle} HBM = 30 ^\circ$ 조건 (다)에 의하여 $\mathrm{\angle} CBD$$= 2 \times \mathrm{\angle} HBM = 60 ^\circ$ 조건 (나)에서 직선 $\mathrm{AB}$가 평면 $\mathrm{BCD}$에 수직이므로 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{ABD}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\theta =$$\mathrm{\angle} CBD = 60 ^\circ$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp \overline{BC}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{BC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{15}$$\displaystyle = 2 \sqrt{15}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 평면 $\mathrm{ABD}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle 2 \sqrt{15} \times \cos 60 ^\circ = \sqrt{15}$ 따라서 $k ^{2} = 15$