구와 정사영 넓이

조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OC}}} \perp \overline{{\mathrm{OD}}}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}} \perp$ (평면 ${\mathrm{COH}}$) 이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}} \perp \overline{{\mathrm{OC}}}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}} \perp$(평면 ${\mathrm{ABC}}$) 이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}} \perp \overline{{\mathrm{OH}}}$ 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AD}}} \perp \overline{{\mathrm{OH}}}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}} \perp \overline{{\mathrm{DH}}}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}} \perp$(평면 ${\mathrm{DAH}}$) 그러므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OH}}} \perp \overline{{\mathrm{AH}}}$

직선 ${\mathrm{OC}}$와 구가 만나는 점 중 점 ${\mathrm{C}}$가 아닌 점을 ${\mathrm{E}}$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AE}}} = \overline{{\mathrm{BC}}} = 2 \sqrt{2}$$\angle {\mathrm{AOE}} \mathit{=} \theta _{1}$이라 하면 $\angle {\mathrm{OAH}} \mathit{=} \angle {\mathrm{AOE}} \mathit{=} \theta _{1}$삼각형 ${\mathrm{OAE}}$에서 $\displaystyle \cos \theta _{1} = \frac{4 ^{2} + 4 ^{2} - \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2}}{2 \times 4 \times 4} = \frac{3}{4}$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{OA}}} \cos \theta _{1} = 4 \times \frac{3}{4} = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ 삼각형 ${\mathrm{DHO}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{OD}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OH}}} ^{2}} = \sqrt{16 - 7} = 3$ 삼각형 $\mathrm{DAH}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AH}}} \times {\overline{\mathrm{DH}}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

점 ${\mathrm{O}}$를 지나고 평면 ${\mathrm{ABC}}$에 수직인 직선과 구가 만나는 점 중 점 ${\mathrm{D}}$에 가까운 점을 ${\mathrm{I}}$라 하자. $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}} \parallel \overline{{\mathrm{OI}}}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}} \parallel$평면 ${\mathrm{IEC}} \mathit{)}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} \parallel \overline{{\mathrm{EC}}}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} \parallel$(평면 ${\mathrm{IEC}}$) 그러므로 두 직선 ${\mathrm{DH}}$, ${\mathrm{AH}}$를 포함하는 평면 ${\mathrm{DAH}}$는 평면 ${\mathrm{IEC}}$와 평행하다. 직선 ${\mathrm{CE}}$는 두 평면 ${\mathrm{IEC}}$, ${\mathrm{DOC}}$의 교선이고 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CE}}} \perp \overline{{\mathrm{OI}}}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{CE}}} \perp \overline{{\mathrm{OD}}}$이므로 두 평면 ${\mathrm{IEC}}$, ${\mathrm{DOC}}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\angle {\mathrm{DOI}} \mathit{=} \theta$

$\angle {\mathrm{ODH}} \mathit{=} \angle {\mathrm{DOI}} \mathit{=} \theta$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \cos ( \angle {\mathrm{ODH}} \mathit{)} = \frac{\overline{{\mathrm{DH}}}}{\overline{{\mathrm{OD}}}} = \frac{3}{4}$ 삼각형 ${\mathrm{DAH}}$의 넓이를 $S _{1}$이라 하면 $\displaystyle S = S _{1} \times \cos \theta = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$ 따라서 $8 S = 27$