구와 정사영

구 $S$의 중심을 $\mathrm{O} \left( 0 , 0 , 0 \right)$, 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( 10 , 0 , 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{AOC} = \frac{\pi}{2}$이므로 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 $yz$평면 위의 점이다. $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{OBC}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \overline{\mathrm{OC}} = 10$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} \perp {\overline{BC}}$ 직각삼각형 $\mathrm{OMB}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} = 7 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OM}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{OB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BM}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10 ^{2} - \left( 7 \sqrt{2} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{A}$는 $x$축 위에 있고 $\mathrm{BC}$는 $yz$평면 위에 있으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} \perp {\overline{OM}}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 높이인 $\mathrm{AM}$의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OM}}} ^{2}} = \sqrt{10 ^{2} + \left( \sqrt{2} \right) ^{2}} = \sqrt{102}$ $\therefore$$\triangle$$\mathrm{ABC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 14 \sqrt{2} \times \sqrt{102}$$\displaystyle = 14 \sqrt{51}$ 평면 $\mathrm{ABC}$와 평면 $\mathrm{OAD}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 평면 $\mathrm{OAD}$ 위로의 정사영의 넓이가 $70$이므로 $\displaystyle 14 \sqrt{51} \cos \theta = 70$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{51}}$ $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{51}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{AD}$ 위의 점이므로 평면 $\mathrm{OAD}$는 평면 $\mathrm{OAE}$와 같다. 이때 평면 $\mathrm{OAE}$는 직선 $\mathrm{OA}$, 즉 $x$축을 포함한다. $x$축이 $yz$평면에 수직이므로, 평면 $\mathrm{OAE}$와 $yz$평면의 교선은 직선 $\mathrm{OE}$이다. 따라서 직선 $\mathrm{OE}$는 $x$축과 수직이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} ^{2} = {\overline{AO}} ^{2} + {\overline{OE}} ^{2} = 100 + {\overline{OE}} ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡

평면 $\mathrm{OAD}$와 $yz$평면이 수직이고 점 $\mathrm{C}$는 $yz$평면 위의 점이다. 두 평면의 교선이 직선 $\mathrm{OE}$이므로 점 $\mathrm{C}$에서 평면 $\mathrm{OAD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼수선의 정리에 의하여 점 $\mathrm{H}$는 $yz$평면 안에서 점 $\mathrm{C}$로부터 직선 $\mathrm{OE}$에 내린 수선의 발과 같다. $\angle \mathrm{OME} = \angle CHE = 90 ^\circ$, $\angle \mathrm{DEM} = \angle CEH$ (맞꼭지각)이므로 $\triangle \mathrm{OME} \backsim \triangle CHE$ ($\mathrm{AA}$닮음)이다. $\displaystyle \frac{\mathrm{{\overline{CH}}}}{{\overline{CE}}} = \frac{{\overline{OM}}}{{\overline{OE}}} = \frac{\sqrt{2}}{{\overline{OE}}}$ 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{AE}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} \perp {\overline{BC}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} \perp {\overline{CF}}$므로 삼각형 $\mathrm{ACE}$의 넓이는 $\displaystyle \mathrm{\triangle} ACE = \frac{1}{2} \times {\overline{CE}} \times {\overline{AM}} = \frac{1}{2} \times {\overline{AE}} \times \overline{CF}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \frac{{\overline{CE}} \times {\overline{AM}}}{{\overline{AE}}} = \frac{{\overline{CE}} \times \sqrt{102}}{\sqrt{100 + {\overline{OE}} ^{2}}}$ 삼각형 $\mathrm{CHF}$에서 $\sin \theta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{{\overline{CH}}}}{{\overline{CF}}}$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{\sqrt{2} \times {\overline{CE}}}{{\overline{OE}}} \times \frac{\sqrt{100 + {\overline{OE}} ^{2}}}{{\overline{CE}} \times \sqrt{102}}$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{\sqrt{100 + {\overline{OE}} ^{2}}}}{{\overline{OE}} \times \sqrt{51}}$ ㉠에서 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{51}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\sqrt{26}} \times {\overline{OE}} = \sqrt{100 + {\overline{OE}} ^{2}}$, $\displaystyle \mathrm{26} {\overline{OE}} ^{2} = 100 + {\overline{OE}} ^{2}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{OE}} = 2$ ㉡에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \sqrt{100 + {\overline{OE}} ^{2}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \sqrt{104}$ $\displaystyle k = \sqrt{104}$ $\therefore$ $k ^{2} = 104$