구와 이면각

[출제의도] 정사영을 활용하여 문제해결하기 구 $S$의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 한 변의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$인 정삼각형 $\mathrm{APQ}$의 무게중심은 점 $\mathrm{O}$와 같다. 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{AQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{O}'$라 하면 점 $\mathrm{O}'$는 선분 $\mathrm{AQ}$의 중점이고 $\displaystyle \mathrm{\angle} ABQ = \frac{\pi}{2}$이므로 점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{O}'$를 중심으로 하고 반지름이 선분 $\mathrm{AO}'$인 원 위의 점이다. 삼각형 $\mathrm{BO}' O$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{O' B}} = \mathit{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = \mathit{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OO'}} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} BO' O = \frac{\pi}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OO'}} \perp {\overline{O' B}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PO'}} \perp {\overline{O' B}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AO'}} \perp {\overline{PO'}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PO'}} \perp {\overline{O' B}}$이므로 직선 $\mathrm{PO}'$는 평면 $\mathrm{ABQ}$와 수직이고, 평면 $\mathrm{ABQ}$와 평면 $\mathrm{APQ}$는 수직이다. 그러므로 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{AQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{APB}$의 평면 $\mathrm{APQ}$ 위로의 정사영은 삼각형 $\mathrm{APH}$이다.

삼각형 $\mathrm{BO}' P$는 직각삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{O' B}} = \mathit{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{O' P}} = \mathit{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = 2 \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{APB}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = {\overline{PB}} = 2 \sqrt{3}$인 이등변삼각형이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{10} = 2 \sqrt{5}$ 삼각형 $\mathrm{ABQ}$와 삼각형 $\mathrm{AHB}$는 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{APH}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{3}}{3} \times 3 = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{( \text{삼각형} \mathrm{APH} \text{의} \text{넓이} )}{( \text{삼각형} \mathrm{APB} \text{의} \text{넓이} )} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ 따라서 $\displaystyle 100 \cos ^{2} \theta = 100 \times \frac{3}{5} = 60$