구와 이면각

$\displaystyle \angle {\mathrm{ADB}} = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 10 \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 10$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 20$ 점 ${\mathrm{P}}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 조건 (가)에 의하여 네 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{D}}$, ${\mathrm{H}}$, ${\mathrm{B}}$는 한 평면 위에 있다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} \perp {\overline{\mathrm{AD}}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PD}}} \perp {\overline{\mathrm{AD}}}$ 구 $S$와 평면 ${\mathrm{PBD}}$가 만나는 교선은 선분 ${\mathrm{BD}}$가 지름인 원이고 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \angle {\mathrm{PDH}} = \frac{\pi}{4}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} = {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{BH}}} = 10$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = 10 \sqrt{2}$

삼각형 ${\mathrm{BDA}}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{DAB}} \right) = \frac{{\overline{\mathrm{AD}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ 사각형 ${\mathrm{ABCD}}$가 등변사다리꼴이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 10 \sqrt{5} - 2 \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{DAB}} \right) = 6 \sqrt{5}$

$\angle {\mathrm{BDC}} = \angle {\mathrm{ABD}}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{BDC}} \right) = \cos \left( \angle {\mathrm{ABD}} \right) = \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 삼각형 ${\mathrm{DHC}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{DH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{DH}}} \times {\overline{\mathrm{DC}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{HDC}} \right)$ $\displaystyle = 10 ^{2} + \left( 6 \sqrt{5} \right) ^{2} - 2 \times 10 \times 6 \sqrt{5} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5} = 40$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = 2 \sqrt{10}$ 삼각형 ${\mathrm{PHC}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{PH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10 ^{2} + \left( 2 \sqrt{10} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{35}$ 점 ${\mathrm{C}}$에서 선분 ${\mathrm{PB}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{M}}$, 점 ${\mathrm{M}}$을 지나고 선분 ${\mathrm{PB}}$에 수직인 직선이 선분 ${\mathrm{AB}}$와 만나는 점을 ${\mathrm{N}}$이라 하자.

평면 ${\mathrm{PAB}}$와 평면 ${\mathrm{PBC}}$가 이루는 각의 크기는 두 직선 ${\mathrm{MN}}$과 ${\mathrm{MC}}$가 이루는 각의 크기와 같다. 삼각형 ${\mathrm{PBC}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2} - \left( {\overline{\mathrm{PB}}} - {\overline{{\mathrm{MB}}}} \right) ^{2} = {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - {\overline{{\mathrm{MB}}}} ^{2}$ $\displaystyle \left( 2 \sqrt{35} \right) ^{2} - \left( 10 \sqrt{2} - {\overline{{\mathrm{MB}}}} \right) ^{2} = 10 ^{2} - {\overline{{\mathrm{MB}}}} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{MB}}}} = 4 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CM}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - {\overline{{\mathrm{MB}}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10 ^{2} - \left( 4 \sqrt{2} \right) ^{2}} = 2 \sqrt{17}$ 점 ${\mathrm{P}}$가 구 $S$ 위의 점이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{APB}} = \frac{\pi}{2}$ 두 삼각형 ${\mathrm{BPA}}$와 ${\mathrm{BMN}}$은 서로 닮음이고 닮음비가 $5 : 2$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{NB}}} = \frac{2}{5} \times {\overline{\mathrm{AB}}} = 4 \sqrt{5}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AN}}} = 6 \sqrt{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 10 \sqrt{5} \right) ^{2} - \left( 10 \sqrt{2} \right) ^{2}} = 10 \sqrt{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{NM}}} = \frac{2}{5} \times {\overline{\mathrm{AP}}} = 4 \sqrt{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AN}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} = 6 \sqrt{5}$이므로 사각형 ${\mathrm{ANCD}}$는 평행사변형이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CN}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} = 10$ 삼각형 ${\mathrm{CMN}}$에서 $\cos \left( \angle {\mathrm{NMC}} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{NM}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CM}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CN}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{NM}}} \times {\overline{\mathrm{CM}}}}$$\displaystyle = \frac{\left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{17} \right) ^{2} - 10 ^{2}}{2 \times 4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{17}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{51}}{51}$ $\displaystyle \cos ^{2} \theta = \cos ^{2} \left( \angle {\mathrm{NMC}} \right) = \frac{1}{51}$ $p = 51$, $q = 1$ 따라서 $p + q = 52$