구와 두 평면의 각

$\triangle PQR$을 평면 $AQPO$에 정사영한 도형은 $\triangle PQA$ 따라서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\triangle PQA \text{의} \text{넓이}}{\triangle PQR \text{의} \text{넓이}}$ $\displaystyle \overline{OA} \perp \beta$에서 $\angle OAT = 90 ^\circ$이고 $\triangle AOS$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{OA} = \sqrt{3}$ $\displaystyle \overline{QA} = 1$이므로 $\therefore$$\triangle PQA =$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ 직각이등변삼각형 $ARQ$에서 $\displaystyle \overline{QR} = \sqrt{2}$ 직각삼각형 $PQU$에서 $\displaystyle \overline{PQ} = 2$ $\displaystyle \overline{OP} \perp \triangle OAR$이므로 $\displaystyle \overline{OP} \perp \overline{OR}$ 직각삼각형 $OPR$에서 $\displaystyle \overline{PR} = 2 \sqrt{2}$ $Q$에서 $PR$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\displaystyle {\overline{QH}} ^{2} = {\overline{PQ}} ^{2} - {\overline{PH}} ^{2} = {\overline{QR}} ^{2} - {\overline{RH}} ^{2}$ $\displaystyle 2 ^{2} - ( 2 \sqrt{2} - {\overline{RH}} ) ^{2} = \left( \sqrt{2} \right) ^{2} - {\overline{RH}} ^{2}$ 정리하면 $\displaystyle {\overline{RH}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ , $\displaystyle {\overline{QH}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ $\therefore$$\triangle PQR =$$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ $\displaystyle \therefore \cos ^{2} \theta = \frac{3}{7}$ $\therefore p + q = 10$