구와 두 접평면

[출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

구의 중심 $\mathrm{C}$에서 두 평면의 교선 $x = - y = z$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\mathrm{H} ( \mathit{t} , - t , t )$이고 $\vec{\mathrm{CH}}$는 교선의 방향벡터 $\vec{u} = ( 1 , - 1 , 1 )$과 수직이다. 따라서 $\vec{\mathrm{C} H} \cdot \vec{u} =$$( t - 1 , - t - 2 , t - 1 ) \cdot ( 1 , - 1 , 1 )$ $=$$( t - 1 ) - ( - t - 2 ) + ( t - 1 )$ $= 3 t = 0$ $t = 0$이므로 $\vec{\mathrm{C} H} = ( - 1 , - 2 , - 1 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}} = \sqrt{( - 1 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \sqrt{6}$ 직각삼각형 $\mathrm{CQH}$에서 $\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{QCH} ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ∴ $\displaystyle \angle \mathrm{QCH} = \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \angle \mathrm{PCH} = \angle \mathrm{QCH} = \frac{\pi}{4}$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{QCP} = \frac{\pi}{2}$가 되어 삼각형 $\mathrm{CPQ}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 직각이등변삼각형이다. $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{3} \right) ^{2} = \frac{3}{2}$ ∴ $100 S = 150$