기하공간벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

구의 접점 평면 각

문제

좌표공간에 구 (x−1)2+(y−7)2+(z−2)2=9( x - 1 ) ^{2} + ( y - 7 ) ^{2} + ( z - 2 ) ^{2} = 9와 구 밖의 한 점 A(1,3,5)\mathrm{A} ( 1 , 3 , 5 )가 있다. 점 A\mathrm{A}에서 이 구에 그은 접선들의 접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면과 xyxy평면이 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? [3점] ①310\displaystyle \frac{3}{10}②25\displaystyle \frac{2}{5}③12\displaystyle \frac{1}{2}④35\displaystyle \frac{3}{5}⑤710\displaystyle \frac{7}{10}

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④

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해설

접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면의 법선벡터는 (1,3,5)−(1,7,2)=(0,−4,3)( 1 , 3 , 5 ) - ( 1 , 7 , 2 ) = ( 0 , - 4 , 3 )이고, xyxy평면의 법선벡터는 (0,0,1)( 0 , 0 , 1 )이므로 cos⁡θ=∣(0,−4,3)⋅(0,0,1)∣∣(0,−4,3)∣×∣(0,0,1)∣=35\displaystyle \cos \theta = \frac{| ( 0 , - 4 , 3 ) \cdot ( 0 , 0 , 1 ) |}{| ( 0 , - 4 , 3 ) | \times | ( 0 , 0 , 1 ) |} = \frac{3}{5}

태그

#구#법선벡터#이면각

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