공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구멍 뚫린 정육면체 부피

문제

한 모서리의 길이가 xx인 정육면체 모양의 나무토막이 있다. [그림 1]과 같이 이 나무토막의 윗면의 중앙에서 한 변의 길이가 yy인 정사각형모양으로 아랫면의 중앙까지 구멍을 뚫었다. 구멍은 정사각기둥 모양이고, 각 모서리는 처음 정육면체의 모서리와 평행하다. 이와 같은 방법으로 각 면에서 구멍을 뚫어 [그림 2]와 같은 입체를 얻었다.

[그림 1] [그림 2] 이때, [그림 2]의 입체의 부피를 xx, yy로 나타낸 것은? [4점] ①(x−y)2(x+2y)( x - y ) ^{2} ( x + 2 y )②(x−y)(x+2y)2( x - y ) ( x + 2 y ) ^{2}③(x+y)2(x−2y)( x + y ) ^{2} ( x - 2 y )④(x+y)(x−2y)2( x + y ) ( x - 2 y ) ^{2}⑤(x+y)2(x+2y)( x + y ) ^{2} ( x + 2 y )

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①

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해설

[출제의도] 주어진 입체의 부피를 다항식으로 나타내고 이를 인수분해할 수 있는가를 묻는 문항이다. 구하는 입체의 부피는 원래의 정육면체의 부피에서 구멍 부분의 부피를 빼면 된다. 구멍 부분의 부피는 밑면이 한 변의 길이가 yy인 정사각형이고 높이가 xx인 정사각기둥 33개의 부피에서 중복된 부분인 한 모서리의 길이가 yy인 정육면체의 부피를 두 번 빼면 된다. 따라서 구멍 부분의 부피가 3xy2−2y33 xy ^{2} - 2 y ^{3}이므로 구하는 입체의 부피는 x3−(3xy2−2y3)x ^{3} - ( 3 xy ^{2} - 2 y ^{3} )=x3−3xy2+2y3= x ^{3} - 3 xy ^{2} + 2 y ^{3}이다. x=yx = y일 때 이 식의 값이 00이 되므로 x−yx - y가 인수이다. 조립제법에 의하여 인수분해하면

111100−3- 3 22
11 11−2- 2
1111−2- 2 00

∴ x3−3xy2+2y3x ^{3} - 3 xy ^{2} + 2 y ^{3}=(x−y)(x2+xy−2y2)= ( x - y ) ( x ^{2} + xy - 2 y ^{2} ) =(x−y)2(x+2y)= ( x - y ) ^{2} ( x + 2 y )

태그

#인수분해#부피

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