공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구멍 뚫은 정육면체 겉넓이

문제

한 모서리의 길이가 aa인 정육면체 모양의 입체도형이 있다. 이 입체도형에서 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 bb이고 높이가 aa인 원기둥 모양의 구멍을 뚫었다. 남아 있는 입체도형의 겉넓이가 216+16π216 + 16 \pi일 때, 두 유리수 aa, bb에 대하여 15(a−b)15 \left( a - b {)} \right.의 값을 구하시오. (단, a>2ba > 2 b) [4점]

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60

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해설

[출제의도] 연립이차방정식을 이용하여 도형 문제 해결하기 남아 있는 입체도형의 겉넓이 SS는 S=6a2−2πb2+2πabS = 6 a ^{2} - 2 \pi b ^{2} + 2 \pi ab=6a2+2π(ab−b2)= 6 a ^{2} + 2 \pi \left( ab - b ^{2} \right)=216+16π= 216 + 16 \pi 이고 aa, bb가 유리수이므로 6a2=2166 a ^{2} = 216, ab−b2=8ab - b ^{2} = 8 이다. 그러므로 a=6a = 6이고 b2−6b+8=0b ^{2} - 6 b + 8 = 0에서 b=2b = 2 또는 b=4b = 4 이다. a>2ba > 2 b이므로 b=2b = 2이다. 따라서 15(a−b)=6015 ( a - b ) = 60이다.

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#이차방정식#겉넓이

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