공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간에서 항상 성립

문제

−1≤x≤1- 1 \leq x \leq 1에서 이차부등식 x2−2x+3≤−x2+kx ^{2} - 2 x + 3 \leq - x ^{2} + k가 항상 성립할 때, 실수 kk의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기 x2−2x+3≤−x2+kx ^{2} - 2 x + 3 \leq - x ^{2} + k를 정리하면 2x2−2x+3−k≤02 x ^{2} - 2 x + 3 - k \leq 0이므로 f(x)=2x2−2x+3−kf ( x ) = 2 x ^{2} - 2 x + 3 - k라 하면 f(x)=2(x−12)2+52−k\displaystyle f ( x ) = 2 \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{5}{2} - k이다. −1≤x≤1- 1 \leq x \leq 1에서 f(x)f ( x )는 x=−1x = - 1에서 최댓값을 갖고 그 최댓값이 00보다 작거나 같아야 하므로 f(−1)=−k+7≤0f ( - 1 ) = - k + 7 \leq 0 ∴\thereforek≥7k \geq 7 따라서 실수 kk의 최솟값은 77이다.

태그

#이차함수 최대최소#이차부등식

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