구간별 삼각함수 방정식

실수 $k$에 대하여 (ⅰ) $k = 0$인 경우 $0 \leq x < \pi$에서 방정식 $3 \sin x = k$의 해는 $x = 0$이므로 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $f \left( x \right) = k$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 합이 $\displaystyle \frac{7}{4} \pi$가 되려면 $\displaystyle f \left( \frac{7}{4} \pi \right) = 0$이어야 하고, 이때 $f \left( t \right) = k$를 만족시키는 실수 $t$의 값은 $0$ 또는 $\displaystyle \frac{7}{4} \pi$로 $2$개다. (ⅱ) $0 < k < 3$인 경우 $0 \leq x < \pi$에서 방정식 $3 \sin x = k$의 해의 합은 $\pi$ ① $\pi \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $a \cos x + b = k$의 해가 존재하면 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $f \left( x \right) = k$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 합은 $2 \pi$ 이상이다. ② $\pi \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $a \cos x + b = k$의 해가 존재하지 않으면 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $f \left( x \right) = k$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 합은 $\pi$이다. 그러므로 조건을 만족시키는 실수 $t$는 존재하지 않는다. (ⅲ) $k = 3$인 경우 $0 \leq x < \pi$에서 방정식 $3 \sin x = k$의 해는 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$이므로 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $f \left( x \right) = k$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 합이 $\displaystyle \frac{7}{4} \pi$가 되려면 $\displaystyle f \left( \frac{5}{4} \pi \right) = 3$이어야 하고, 이때 $f \left( t \right) = k$를 만족시키는 실수 $t$의 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{5}{4} \pi$로 $2$개다. (ⅳ) $k < 0$ 또는 $k > 3$인 경우 $0 \leq x < \pi$에서 방정식 $3 \sin x = k$의 해가 존재하지 않으므로 $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $f \left( x \right) = k$를 만족시키는 모든 $x$의 값의 합이 $\displaystyle \frac{7}{4} \pi$가 되려면 $\displaystyle f \left( \frac{7}{4} \pi \right) = k$이어야 하고, 이때 $f \left( t \right) = k$를 만족시키는 실수 $t$의 값은 $\displaystyle \frac{7}{4} \pi$로 $1$개다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에서 $\displaystyle f \left( \frac{5}{4} \pi \right) = 3$이고 $\displaystyle f \left( \frac{7}{4} \pi \right) = 0$인 경우에만 조건을 만족시킨다. $\displaystyle f \left( \frac{5}{4} \pi \right) = a \cos \frac{5}{4} \pi + b = - \frac{\sqrt{2}}{2} a + b = 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle f \left( \frac{7}{4} \pi \right) = a \cos \frac{7}{4} \pi + b = \frac{\sqrt{2}}{2} a + b = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle a = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle b = \frac{3}{2}$ 따라서 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = \frac{9}{2} + \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$