대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간별 정의 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=0,an=m2a _{1} = 0 , a _{n} = m ^{2}(단, 2m≤n<2m+1,m=1,2,3,⋯2 ^{m} \leq n < 2 ^{m+1} , m = 1 , 2 , 3 , \cdots) 으로 주어질 때, an+a2n≥100a _{n} + a _{2n} \geq 100이 성립하는 최소의 자연수 nn의 값을 구하시오. [4점]

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해설

2m≤n<2m+12 ^{m} \leq n < 2 ^{m + 1}에서 2m+1≤2n<2m+22 ^{m+1} \leq 2 n < 2 ^{m+2}이므로 a2n=(m+1)2a _{2n} = ( m + 1 ) ^{2} an+a2n=m2+(m+1)2=2m2+2m+1≥100a _{n} + a _{2n} = m ^{2} + ( m + 1 ) ^{2} = 2 m ^{2} + 2 m + 1 \geq 100이므로 m(m+1)≥992\displaystyle m ( m + 1 ) \geq \frac{99}{2}이다. 따라서 m≥7m \geq 7이고 nn의 최솟값은 27=1282 ^{7} = 128이다.

태그

#수열#지수

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