구간별 점화식 합

[출제의도] 수열의 규칙성을 추측하여 수열의 합을 구한다. $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{5}$, $\displaystyle a _{2} = 2 a _{1} = \frac{2}{5}$, $\displaystyle a _{3} = 2 a _{2} = \frac{4}{5}$, $\displaystyle a _{4} = 2 a _{3} = \frac{8}{5}$, $\displaystyle a _{5} = a _{4} - 1 = \frac{3}{5}$, $\displaystyle a _{6} = 2 a _{5} = \frac{6}{5}$, $\displaystyle a _{7} = a _{6} - 1 = \frac{1}{5}$, $\cdots$ 이므로 $a _{n} = a _{n + 6}$$\left( n \geq 1 \right)$이 성립한다. $20 = 3 \times 6 + 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n}$$\displaystyle = 3 \times \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{4}{5} + \frac{8}{5} + \frac{3}{5} + \frac{6}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \right)$ $\displaystyle = 3 \times \frac{24}{5} + \frac{3}{5}$$= 15$