구간별 이차함수 미분

최고차항의 계수가 $- 1$인 이차함수 $f ( x )$와 상수 $a$에 대하여 조건 (가)에서 $g' ( 0 ) = \mathit{-} 4$이므로 $f' ( 0 ) = \mathit{-} 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또 함수 $g ( x )$는 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g ( x )$, $f ( 0 ) = a - f ( 0 )$ $\therefore$$\displaystyle f ( 0 ) = \frac{1}{2} a$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle f ( x ) = \mathit{-} x ^{2} - 4 x + \frac{1}{2} a$로 놓으면 $g ( x )$$\displaystyle = \begin{cases} f ( x ) & ( x < 0 ) \\ a - f ( - x ) & ( x \geq 0 ) \end{cases}$ $\displaystyle = \begin{cases} - x ^{2} - 4 x + \frac{1}{2} a & ( x < 0 ) \\ x ^{2} - 4 x + \frac{1}{2} a & ( x \geq 0 ) \end{cases}$

조건 (나)에서 함수 $g ( x )$의 극솟값은 $0$이므로 $g ( 2 ) = 0$, $\displaystyle 4 - 8 + \frac{1}{2} a = 0$$\therefore$$a = 8$ $\therefore$$g ( - 8 )$$\displaystyle = \mathit{-} ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) + \frac{1}{2} \times 8$$= \mathit{-} 28$