구간별 함수의 연속

ㄱ. $x > 1$에서 $f ( x ) = - x + 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} f ( x ) = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} ( - x + 2 ) = 1$ (참) ㄴ. $x \leq 1$에서 $f ( x ) = a$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} f ( x ) = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} a$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} 0 = 0$ 이므로 ㄱ에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} f ( x ) \ne \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} f ( x )$ 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} f ( x )$의 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. 함수 $g ( x ) = ( x - 1 ) f ( x )$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} g ( x )$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} ( x - 1 ) f ( x )$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} ( x - 1 ) ( - x + 2 )$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} ( x - 1 ) f ( x )$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} a ( x - 1 )$$= 0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} g ( x ) = 0$이고 $g ( 1 ) = ( 1 - 1 ) f ( x ) = 0$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} g ( x ) = g ( 1 )$ 즉, 함수 $y = ( x - 1 ) f ( x )$는 $x = 1$에서 연속이다. 한편, $x > 1$, $x \leq 1$에서 함수 $f ( x )$는 다항함수이므로 연속함수의 성질에 의해 함수 $y = ( x - 1 ) f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.