구간별 함수 연속 보기

[출제의도] 함수의 연속성 추론하기 ㄱ. $\left| x \right| < 1$일 때 $f \left( x \right) = x ^{2}$은 연속이고, $\left| x \right| > 1$일 때 $f \left( x \right) = x ^{2} - 4 \left| x \right| + 3$은 연속이다. ⅰ) $x = - 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {f \left( x \right)} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {f \left( x \right)} = 1$ ⅱ) $x = 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right)} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right)} = 0$ $\therefore$ $x = - 1$과 $x = 1$에서 불연속이므로 $f \left( x \right)$가 불연속인 점은 $2$개이다. (참) ㄴ. ⅰ) $x = - 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {f \left( x \right) \cos \frac{\pi}{2} x} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {f \left( x \right) \cos \frac{\pi}{2} x = 0}$ $\displaystyle f \left( - 1 \right) \cos \left( - \frac{\pi}{2} \right) = 0$ ⅱ) $x = 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right) \cos \frac{\pi}{2} x} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right) \cos \frac{\pi}{2} x = 0}$ $\displaystyle f \left( 1 \right) \cos \frac{\pi}{2} = 0$ $\therefore$ 함수 $\displaystyle y = f \left( x \right) \cos \frac{\pi}{2} x$는 $x = - 1$과 $x = 1$에서 연속이다. (참) ㄷ. [반례] $a = 2$일 때 $f \left( x \right)$는 $x = - 1$, $1$에서 불연속이고, $f \left( x - 2 \right)$는 $x = 1$, $3$에서 불연속이므로 $x = - 1$, $1$, $3$에서의 연속성을 조사해 보면 $\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)} & = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)} _{{} _{}} \\ & = f \left( - 1 \right) f \left( - 3 \right) = 0 ^{{} ^{{} ^{}}} \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)} & = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)} _{{} _{}} \\ & = f \left( 1 \right) f \left( - 1 \right) = 0 ^{{} ^{{} ^{}}} \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow 3 - 0} {f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)} & = \lim\limits _{x \rightarrow 3 + 0} {f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)} _{{} _{}} \\ & = f \left( 3 \right) f \left( 1 \right) = 0 ^{{} ^{{} ^{}}} \end{aligned}$ $\therefore$ 함수 $y = f \left( x \right) f \left( x - 2 \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ