미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간별 함수 연속

문제

모든 실수에서 정의된 함수 $f ( x )$ 가 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \frac{ax}{x - 1} & ( | x | > 1 ) \\ \frac{a}{1 - x} & ( | x | < 1 ) \\ \frac{a}{2} & ( | x | = 1 ) \end{cases}}$ 일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$ 는 실수이다.) [4점] [보 기]

ㄱ. 함수 $f ( x )$ 는 $x = - 1$ 에서 연속이다. ㄴ. 함수 $f ( x )$ 가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 $a$ 의 값이 존재한다. ㄷ. 방정식 $f ( x ) = a$ 는 한 개의 실근을 갖는다. (단, $a \ne 0$ )

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 함수의 연속성 이해하기 ⅰ) $a = 0$ 인 경우, $f ( x ) = 0$ ⅱ) $a > 0$ 인 경우

ⅲ) $a < 0$ 인 경우, ⅱ)의 그래프를 $x$ 축으로 대칭이동한 그래프이다. ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {f} ( x ) = f ( - 1 ) = \frac{a}{2}$ (참) ㄴ. $a = 0$ 일 때, 함수 $f ( x ) = 0$ 이므로 모든 실수에서 연속이다. (참) ㄷ. $y = f ( x )$ 의 그래프는 직선 $y = a$ 와 오직 한 점에서 만난다. (참)

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