구간별 함수 실근 합

[출제의도] 지수함수와 삼각함수의 그래프를 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기 $0 \leq x < k$에서 $\displaystyle - \frac{1}{2} \leq f \left( x \right) \leq \frac{1}{2}$이고, 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \sin \pi x$의 주기는 $2$이다. $\displaystyle f \left( k \right) = \left( \frac{2}{3} \right) ^{k - k} - 1 = 0$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 점 $\left( k , 0 \right)$을 지난다. 방정식 $f \left( x \right) + a = 0$의 실근은 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} a$의 교점의 $x$좌표와 같다. $0 \leq x \leq 12$에서 방정식 $f \left( x \right) + a = 0$의 실근의 최댓값이 $12$이므로 모든 실근의 합이 $46$이기 위하여 실근의 개수는 $4$이상이어야 한다. $\left( \mathrm{i} \right)$ $\displaystyle a = \frac{1}{2}$인 경우

$\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{7}{2}$ $\displaystyle \frac{11}{2}$ $\displaystyle \frac{15}{2}$ $\displaystyle \frac{19}{2}$ $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{2}$

$k = 10$일 때 방정식 $f \left( x \right) + a = 0$의 모든 실근의 합이 최대이다. $0 \leq x < 10$에서 모든 실근의 합은 $\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{7}{2} + \frac{11}{2} + \frac{15}{2} + \frac{19}{2} = \frac{55}{2} = 27.5$이고 $\displaystyle f \left( 12 \right) = \left( \frac{2}{3} \right) ^{12 - 10} - 1 = \frac{4}{9} - 1 = \mathit{-} \frac{5}{9} < \mathit{-} \frac{1}{2}$이므로 $10 \leq x \leq 12$에서 방정식 $f \left( x \right) + a = 0$은 오직 하나의 실근을 갖고 그 값은 $12$보다 작다. 따라서 방정식 $f \left( x \right) + a = 0$의 모든 실근의 합은 $39.5$보다 작으므로 조건을 만족시키지 않는다. $\left( \mathrm{ii} \right)$ $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$인 경우

$y = \mathit{-} a$

$k \leq x \leq 12$에서 방정식 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{x - k} - 1 + a = 0$의 실근의 개수는 최대 $1$이고 그 값은 $12$이하이다. $0 \leq x \leq 12$에서 방정식 $f \left( x \right) + a = 0$의 모든 실근의 합이 $46$이기 위하여 $0 \leq x < k$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합이 $34$이상이어야 한다. $0 \leq x < 2$에서 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \sin \pi x$의 그래프와 직선 $y = \mathit{-} a$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$라 할 때, $\displaystyle \frac{\alpha _{1} + \alpha _{2}}{2} = \frac{3}{2}$, 즉 $\alpha _{1} + \alpha _{2} = 3$이다. 또한, 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \sin \pi x$의 주기가 $2$이므로 $2 \leq x < 4$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합은 $7$, $4 \leq x < 6$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합은 $11$, $6 \leq x < 8$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합은 $15$, $8 \leq x < 10$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합은 $19$, $10 \leq x < 11$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$은 실근을 갖지 않는다. 따라서 다음 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. ① $k {\leq} 7$일 때 $0 \leq x < k$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합이 $34$미만이므로 조건을 만족시키지 않는다. ② $k = 8$ 또는 $k = 9$일 때 $0 \leq x < k$에서 방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \pi x + a = 0$의 모든 실근의 합은 $3 + 7 + 11 + 15 = 36$이므로 $k \leq x \leq 12$에서 실근이 $10$이면 조건을 만족시킨다. $k = 8$이면 $\displaystyle f \left( 10 \right) + a = \left( \frac{2}{3} \right) ^{10 - 8} - 1 + a = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{5}{9}$이므로 $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$에 모순이다. $k = 9$이면 $\displaystyle f \left( 10 \right) + a = \left( \frac{2}{3} \right) ^{10 - 9} - 1 + a = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$을 만족시킨다. ③ $k = 10$ 또는 $k = 11$일 때 $0 \leq x < k$에서 모든 실근의 합은 $3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55 > 46$이므로 조건을 만족시키지 않는다. $\left( \mathrm{i} \right)$, $\left( \mathrm{ii} \right)$에 의하여 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$, $k = 9$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{k}{a} = 27$