구간별 함수 미분가능

[출제의도] 다항함수의 미분가능성 이해하기 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능 하므로 $x = 2$에서 미분가능하다. (ⅰ) $x = 2$에서 연속 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {f \left( x \right)} = f \left( 2 \right)}$에서 $4 a + b = 8$ $\cdots$ ㉠ (ⅱ) $x = 2$에서 미분가능 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 2 \right)}{x - 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{x ^{3} + ax ^{2} + b - 16}{x - 2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{\left( x - 2 \right) \left\{ x ^{2} + \left( a + 2 \right) x + \left( 2 a + 4 \right) \right\}}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\left\{ x ^{2} + \left( a + 2 \right) x + \left( 2 a + 4 \right) \right\}}$$= 4 a + 12$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 2 \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{4 x ^{2} - 16}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{4 \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {4 \left( x + 2 \right)}$$= 16$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 2 \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 2 \right)}{x - 2}}$에서 $4 a + 12 = 16$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $a = 1$, $b = 4$ 따라서 $f \left( 1 \right) = 6$