미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

구간별 함수 미분가능

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} x ^{2} & ( x \leq 3 ) \\ - \frac{1}{2} ( x - a ) ^{2} + b & ( x > 3 ) \end{cases}$ 이 모든 실수에서 미분가능할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$f ( x )$ 가 $x = 3$ 에서 연속이므로, $\displaystyle - \frac{1}{2} ( 3 - a ) ^{2} + b = 9$ …① 또한 $\displaystyle f' ( x ) = {\begin{cases} 2 x & ( x \leq 3 ) \\ - x + a & ( x > 3 ) \end{cases}}$ $f ( x )$ 는 $x = 3$ 에서 미분가능하므로 $a = 9$ … ② ①, ② 에 의하여 $a = 9 , b = 27$ $\therefore$ $a + b = 36$

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