구간별 함수 곱의 연속

[출제의도] 함수가 연속일 조건을 구할 수 있는가? $y = f ( x )$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 불연속이고 함수 $f ( x - a )$는 $x = a$에서 불연속이다. ⅰ) $a = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a + 0} f ( x ) f ( x - a ) = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} ( f ( x ) ) ^{2} = 49$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a - 0} f ( x ) f ( x - a ) = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} ( f ( x ) ) ^{2} = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a + 0} f ( x ) f ( x - a ) \neq \lim\limits _{x \rightarrow - 0} f ( x ) f ( x - a )$이므로 $a = 0$일 때 함수 $f ( x ) f ( x - a )$는 $x = a$에서 불연속이다. ⅱ) $a \neq 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a + 0} f ( x ) f ( x - a ) = 7 f ( a )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a - 0} f ( x ) f ( x - a ) = f ( a )$ $f ( a ) f ( 0 ) = f ( a )$ 따라서, 함수 $f ( x ) f ( x - a )$가 $x = a$에서 연속이 되기 위해서는 $7 f ( a ) = f ( a )$, $f ( a ) = 0$ $\therefore a = - 1$ 또는 $14$ 따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $13$이다.