구간별 함수 불연속

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-함수의 극한과 연속 $2 < x \leq 4$일 때, $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{2 \times 3} ( x - 2 ) ( x - 4 ) + \frac{1}{1 \times 2}$ $4 < x \leq 6$일 때, $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{3 \times 4} ( x - 4 ) ( x - 6 ) + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3}$ $6 < x \leq 8$일 때, $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{4 \times 5} ( x - 6 ) ( x - 8 ) + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}$ $\vdots$ 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$0 < x < 100$에서 함수 $f ( x )$가 불연속인 실수 $x$의 개수는 49이다. 함수 $\left| f ( x ) - a \right|$가 불연속인 실수 $x$의 개수가 48이려면 실수 $a$는 그림과 같이 어떤 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle 2 a = f ( 2 n ) + \lim\limits _{x \rightarrow 2 n +} {} f ( x )$를 만족시킨다.

이때 방정식 $f ( x ) - a = 0$의 두 실근 $\alpha , \beta$에 대하여 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = 2 n - 1$이 성립한다. $2 ( 2 n - 1 ) = 34$에서 $n = 9$이므로 $\displaystyle 2 a = \sum\limits _{k = 1} ^{8} \frac{1}{k ( k + 1 )} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} \frac{1}{k ( k + 1 )}$$\displaystyle = \left( 1 - \frac{1}{9} \right) + \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = \frac{161}{90}$ $\displaystyle a = \frac{161}{180}$ 따라서 $p = 180 , q = 161$ $p + q = 341$