구간별 함수 보기

ㄱ. $\displaystyle f \left( 1 \right) = \frac{1}{2} \leq 1$이므로 $\displaystyle g ( 1 ) = f ( 1 ) = \frac{1}{2}$ ㄴ. (i) $f ( x ) \leq x$인 경우 $g ( x ) = f ( x ) \leq x$ (ii) $f ( x ) > x$인 경우 $g ( x ) = x$ (i), (ii)에 의하여 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \leq x$ ㄷ. 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$y = g \left( x \right)$

함수 $g \left( x \right)$는 $x < 0$, $0 < x < 2$, $x > 2$에서 미분가능하므로 $x = 0$, $x = 2$에서의 미분가능성을 조사해보면 (i) $x = 0$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{h - 0}{h}}$$= 1$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{1}{2} h ^{2} - 0}{h}}$$= 0$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 미분가능하지 않다. (ii) $x = 2$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( 2 + h \right) - g \left( 2 \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{\frac{1}{2} \left( 2 + h \right) ^{2} - 2}{h}}$ $= 2$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( 2 + h \right) - g \left( 2 \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{\left( 2 + h \right) - 2}{h}}$ $= 1$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2$에서 미분가능하지 않다. 따라서 실수 전체의 집합에서 함수 $g \left( x \right)$가 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$이다. 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ