미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간별 도함수와 함수 성질

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )가 모든 실수에서 연속이고, ∣x∣≠1| x | \ne 1인 모든 xx의 값에 대하여 미분계수 f′(x)f' ( x )가 f′(x)={x2(∣x∣<1)−1(∣x∣>1)\displaystyle f' ( x ) = {\begin{cases} x ^{2} & ( \left| x \right| < 1 ) \\ - 1 & ( \left| x \right| > 1 ) \end{cases}} 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

[ 보 기 ]
ㄱ. 함수 y=f(x)y = f ( x )는 x=−1x = - 1에서 극값을 갖는다. ㄴ. 모든 실수 xx에 대하여 f(x)=f(−x)f ( x ) = f ( - x )이다. ㄷ. f(0)=0f ( 0 ) = 0이면 f(1)>0f ( 1 ) > 0이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

도함수 y=f′(x)y = f' ( x )의 그래프는 다음과 같다.

따라서 연속함수 f(x)f ( x )의 그래프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ. lim⁡x→−1−0f′(x)=−1<0\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1-0} f' ( x ) = - 1 < 0, lim⁡x→−1+0f′(x)=1>0\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1+0} f' ( x ) = 1 > 0이므로 f(x)f ( x )는 x=0x = 0에서 감소상태에서 증가상태로 바뀐다. 따라서 f(x)f ( x )는 x=−1x = - 1에서 극소값을 갖는다. (참) ㄴ. 함수 f(x)f ( x )의 그래프는 yy축에 대하여 대칭이 아니므로 f(x)=f(−x)f ( x ) = f ( - x )가 성립하지 않는다. (거짓) ㄷ. y=f(x)y = f ( x )의 그래프에서 f(1)>f(0)f ( 1 ) > f ( 0 )이므로 f(0)=0f ( 0 ) = 0이면 f(1)>0f ( 1 ) > 0이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

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#극값#도함수의 부호

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