구간 최댓값 함수의 미분가능성

$h \left( x \right) = x ^{3} - 3 x + 8$이라 하면 $f \left( x \right) = \left| h \left( x \right) \right|$ $h' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 3 = 3 \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$ $h' \left( x \right) = 0$에서 $x = - 1$ 또는 $x = 1$ $h \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

극댓값은 $h \left( - 1 \right) = 10$이고 극솟값은 $h \left( 1 \right) = 6$이다. $y = h \left( x \right)$의 극솟값이 양수이므로 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 $x$축과 한 점에서 만난다. 즉 방정식 $h \left( x \right) = 0$은 한 개의 실근 $x = a$를 갖고, $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} - h \left( x \right) & & \left( x < a \right) \\ h \left( x \right) & & \left( x \geq a \right) \end{cases}}$이다. 방정식 $f \left( t \right) = f \left( t + 2 \right)$의 해를 구하자. $a - 2 < t < a$일 때, $- t ^{3} + 3 t - 8 = \left( t + 2 \right) ^{3} - 3 \left( t + 2 \right) + 8$ $t ^{3} + 3 t ^{2} + 3 t + 9 = \left( t + 3 \right) \left( t ^{2} + 3 \right) = 0$에서 $t = - 3$ $t \leq a - 2$ 또는 $t \geq a$일 때, $t ^{3} - 3 t + 8 = \left( t + 2 \right) ^{3} - 3 \left( t + 2 \right) + 8$, $3 t ^{2} + 6 t + 1 = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$이다. $\displaystyle \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3} = b$라 하면 $b > - 1$

$t < \mathit{-} 3$일 때, 닫힌구간 $\left[ t , t + 2 \right]$에서의 $f \left( x \right)$의 최댓값이 $f \left( t \right)$이므로 $g \left( t \right) = f \left( t \right)$이다. $- 3 \leq t \leq - 1$일 때, 닫힌구간 $\left[ t , t + 2 \right]$에서의 $f \left( x \right)$의 최댓값이 $f \left( - 1 \right) = 10$이므로 $g \left( t \right) = 10$이다. $- 1 < t \leq b$일 때, 닫힌구간 $\left[ t , t + 2 \right]$에서의 $f \left( x \right)$의 최댓값이 $f \left( t \right)$이므로 $g \left( t \right) = f \left( t \right)$이다. $b < t$일 때, 닫힌구간 $\left[ t , t + 2 \right]$에서의 $f \left( x \right)$의 최댓값이 $f \left( t + 2 \right)$이므로 $g \left( t \right) = f \left( t + 2 \right)$이다. 즉 함수 $g \left( t \right)$는 다음과 같다. $\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} - t ^{3} + 3 t - 8 & & \left( t < \mathit{-} 3 \right) \\ 10 & & \left( - 3 \leq t \leq - 1 \right) \\ t ^{3} - 3 t + 8 & & \left( - 1 < t \leq b \right) \\ t ^{3} + 6 t ^{2} + 9 t + 10 & & \left( b < t \right) \end{cases}}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 3 -} {} g \left( t \right) = 10 = g \left( - 3 \right) = \lim\limits _{t \rightarrow - 3 +} {} g \left( t \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 1 -} {} g \left( t \right) = 10 = g \left( - 1 \right) = \lim\limits _{t \rightarrow - 1 +} {} g \left( t \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {} g \left( t \right) = g \left( b \right) = \lim\limits _{t \rightarrow b +} {} g \left( t \right)$ 이므로 $g \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 3 -} {} \frac{g \left( t \right) - g \left( - 3 \right)}{t - \left( - 3 \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 3 -} {} \frac{\left( t + 3 \right) \left( - t ^{2} + 3 t - 6 \right)}{t + 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 3 -} {} \left( - t ^{2} + 3 t - 6 \right) = - 24$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 3 +} \frac{g ( t ) - g ( - 3 )}{t - ( - 3 )} = 0$ 이므로 $g \left( t \right)$는 $t = - 3$에서 미분가능하지 않다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 1 -} {} \frac{g \left( t \right) - g \left( - 1 \right)}{t - \left( - 1 \right)}$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 1 +} {} \frac{g \left( t \right) - g \left( - 1 \right)}{t - \left( - 1 \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 1 +} {} \frac{\left( t + 1 \right) \left( t ^{2} - t - 2 \right)}{t + 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 1 +} {} \left( t ^{2} - t - 2 \right) = 0$ 이므로 $g \left( t \right)$는 $t = - 1$에서 미분가능하다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {} \frac{g \left( t \right) - g \left( b \right)}{t - b}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow b -} {} \frac{\left( t - b \right) \left( t ^{2} + bt + b ^{2} - 3 \right)}{t - b}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow b -} {} \left( t ^{2} + bt + b ^{2} - 3 \right) = 3 b ^{2} - 3$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {} \frac{g \left( t \right) - g \left( b \right)}{t - b}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow b +} {} \frac{\left( t - b \right) \left\{ t ^{2} + \left( 6 + b \right) t + b ^{2} + 6 b + 9 \right\}}{t - b}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow b +} {} \left\{ t ^{2} + \left( 6 + b \right) t + b ^{2} + 6 b + 9 \right\}$ $= 3 b ^{2} + 12 b + 9$ $b > - 1$이므로 $3 b ^{2} - 3 \ne 3 b ^{2} + 12 b + 9$ 즉 $g \left( t \right)$는 $t = b$에서 미분가능하지 않다. 그러므로 $\alpha = - 3$, $\displaystyle \beta = \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3}$이고 $\displaystyle \alpha \beta = 3 - \sqrt{6}$ 따라서 $m = 3$, $n = - 1$이므로 $m + n = 2$