미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

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문제

함수 f(x)=x3f ( x ) = x ^{3}에 대하여 AnA _{n}, BnB _{n}을 다음과 같이 정의하자. An=∑k=1nf(k−1n)1n\displaystyle A _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \frac{1}{n} , Bn=∑k=1n{1−f(kn)}1n\displaystyle B _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ 1 - f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} \frac{1}{n}

이 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] ㄱ. lim⁡n→∞(An+Bn)=1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( A _{n} + B _{n} \right) = 1 ㄴ. lim⁡n→∞Bn=34\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} B _{n} = \frac{3}{4} ㄷ. lim⁡n→∞(An−Bn)=−14\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( A _{n} - B _{n} \right) = - \frac{1}{4} <보기>

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

주어진 식 An,BnA _{n} , B _{n}의 극한값을 각각 구해보자. k−1n=x\displaystyle \frac{k - 1}{n} = x라 두면 구간은 [0,1][ 0 , 1 ], dx=1n\displaystyle dx = \frac{1}{n}이 된다. ∴lim⁡n→∞An=∫01f(x)dx=14\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {A _{n}} = \int _{0} ^{1{f ( x )}dx} = \frac{1}{4} kn=x\displaystyle \frac{k}{n} = x라 두면 구간은 [0,1][ 0 , 1 ], dx=1n\displaystyle dx = \frac{1}{n}이 된다. ∴lim⁡n→∞Bn=∫01{1−f(x)}dx=34\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {B _{n} = \int _{0} ^{1{\left\{ 1 - f ( x ) \right\} dx = \frac{3}{4}}}}가 된다. 그러므로 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

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