구분구적법 보기

ㄱ. (반례)

$\displaystyle x _{2k+2} - x _{2k} = \frac{2}{2 m} = \frac{1}{m}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{m-1} \frac{f ( x _{2k} )}{m}$은 [그림1]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다. $\displaystyle x _{k+1} - x _{k} = \frac{1}{n}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{n-1} \frac{f ( x _{k} )}{n}$은 [그림2]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다. 따라서, $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{m-1} \frac{f ( x _{2k} )}{m} > \sum\limits _{k=0} ^{n-1} \frac{f ( x _{k} )}{n}$이다. (거짓) ㄴ. $\displaystyle x _{k} = \frac{k}{n}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{1}{n} \left\{ \frac{f ( x _{k-1} ) + f ( x _{k} )}{2} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f ( x _{k-1} ) \frac{1}{n} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f ( x _{k} ) \frac{1}{n} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \frac{1}{n} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=0} ^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \int _{0} ^{1} f ( x ) dx + \int _{0} ^{1} f ( x ) dx \right\}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ (참) ㄷ. (반례) ㄱ의 [그림2]에서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$는 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축 및 두 직선 $x = 0 , x = 1$로 둘러싸인 부분의 넓이이고, $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{n-1} \frac{f ( x _{k} )}{n}$은 직사각형들의 넓이의 합을 나타내므로 $\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{n-1} \frac{f ( x _{k} )}{n} > \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ (거짓) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.